LIMIT BILANGAN E DAN LIMIT TRIGONOMETRI

Bilangan Euler

Apakah yang dimaksud dengan bilangan Euler?
Sebelum menjawab pertanyaan di atas, fakta-fakta berikut ini. Untuk x,y\in \mathbb{R} dan n\in \mathbb{N}, berlaku
  \begin{equation*} \begin{split} (x+y)^{n}&=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \left(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right) x^{n-k}y^{k}\\ &=\left(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right)x^{n}+\left(\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right)x^{n-1}y+\cdots+\left(\begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right)xy^{n-1}+\left(\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right)y^{n} \end{split} \end{equation*}
Apabila diambil x=1 dan y=\frac{1}{n} diperoleh
  \begin{equation*} \begin{split} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}&=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \left(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right) 1^{n-k}\left(\frac{1}{n}\right)^{k}\\ &=\left(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right)1+\left(\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right)\frac{1}{n}+\left(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}\right)\frac{1}{n^{2}}+\cdots+\left(\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right)\frac{1}{n^{n}}\\ &=2+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots\\ &~+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right) \end{split} \end{equation*}
Akibatnya,
  \begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{1}{n})^{n}}&=&\lim_{n\rightarrow\infty}{2+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\dots}\\ && ~~~~~~+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\dots\left(1-\frac{n-1}{n}\right) \\ &=& 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\dots. \\ &=& 2,718281828\dots. \end{eqnarray*}
Selanjutnya, nilai \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=2,718281828\dots, dinotasikan dengan e dan disebut bilangan euler karena bilangan ini ditemukan pertama kali oleh Leonhard Euler. Selain itu bilangan ini juga biasa dikenal sebagai bilangan alam karena banyak fenomena alam yang dapat diselesaikan dalam bilangan ini.

Pengertian Limit Trigonimetri

Limit trigonometri adalah nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah terlebih dahulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilai nya bernilai 0, atau bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus memakai identitas tetapi memakai teorema limit trigonometri dan ada juga yang memakai identitas dan teorema. Jadi, apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang paling mendekati nya menghasilkan dan maka kita harus menyelesaikan dengan cara lain.

Dalam menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat berbagai cara yang bisa dipakai :
  • Metode Numerik
  • Subtitusi
  • Pemfaktoran
  • Kali Sekawan
  • Menggunakan Turunan
Penulisan nya dapat ditulis  sebagai berikut :
lim┬( x→c )⁡f( x )
Cara untuk membaca dari limit di atas yaitu limit fungsi f( x ) untuk x mendekati c.

Berbagai Macam – Macam Trigonometri dan singkatan nya

A. Macam – macam trigonometri
Berikut ini adalah nama – nama trigonometri yang biasa kita gunakan :
  • Sinus ( sin )
  • Tangen ( tan )
  • Cosinus ( cos )
  • Cotongen ( cot )
  • Secan ( sec )
  • Cosecan ( Csc )
B. Rumus kebalikan dalam trigonimetri
  • sin⁡∝ = 1/csc⁡∝
  • cos⁡∝ = 1/sec⁡∝
  • tan⁡∝ = 1/cot⁡∝
  • tan⁡∝ = sin⁡∝/cos⁡∝
  • cot⁡∝=cos⁡∝/sin⁡∝
C. Identitas Trigonometri dalam trigonimetri
Sin2⁡∝ + cos2⁡∝ =1
1+cot2⁡∝=csc2⁡∝
Tan2⁡∝+1=sec2⁡∝
E. Rumus Perkalian dalam trigonimetri

F. Rumus sudut rangkap dalam trigonimetri

Teorema Limit Trigonometri

Ada beberapa teorema yang dapat digunakan untuk menuntaskan persoalan limit trigonometri yaitu sebagai berikut ;

Teorema A

Teorema tersebut hanya berlaku pada saat (x -> 0) .

Teorema B

Terdapat beberapa teorema yang berlaku. Untuk setiap bilangan real ( asli ) “c” di dalam daerah asal fungsi yaitu :

Biasanya dalam sebuah soal limit fungsi trigonometri nilai terdekat dari limit fungsi nya yaitu berupa sudut – sudut istimewa yaitu sudut yang mempunyai nilai sederhana. Karna itu kita perlu mengetahui nilai – nilai sudut istimewa yang terdapat pada tabel di bawah ini :
Tabel sudut istimewa

Contoh Soal 1
SOAL  1
Jawab ;
Melihat bentuk limit pada soal di atas kita bisa langsung mensubtitusikan nilai x.
SOAL  2
Jawab ;
Melihat bentuk limit di atas makan kita bisa mengarahkan limit ke bentuk teorema A
Namun dalam soal fungsi sinus adalah 3x bukan x sebagaimana syarat dari teorema A. Maka kita dapat mengalikan fungsi dengan 1 agar nilai nya tidak berubah
Dapat dikali dengan 3/3 hal ini tidak merubah fungsi karena sama dengan di kali 1. Setelah itu kita dapat memisalkan agar fungsi berbentuk seperti teorema A yaitu dengan memisalkan 3x.
Misal y = 3 x maka y –> jika dan. hanya jika x – > 0 sehingga ;


Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Perkuliahan Minggu ke-2 (21-27 september 2020 ) KEAMANAN SISTEM KOMPUTER September 21, 2020

Nama : Muhammad Khalid NIM : 201931046 kelas  : D Mata kuliah : Keamanan Sistem Komputer Perkuliahan2 ( 21-27 september 2020 ) Sejarah Perkembangan Komputer dan Sejarah Keamanan Komputer :      Generasi Pertama (1940-1956) Selama periode ini, generasi pertama dari komputer mulai dikembangkan. Komputer generasi pertama menggunakan tabung vakum untuk sirkuit dan drum magnetik untuk penyimpanan memori. Tabung vakum digunakan untuk memeperkuat sinyal dengan mengendalikan gerakan elektron di ruang evakuasi. Komputer generasi pertama sangatlah sulit untuk dioperasikan dan berbiaya sangat mahal. UNIVAC dan ENIAC adalah contoh komputer generasi pertama yang digunakan badan sensus Amerika Serikat. Generasi Kedua (1964-1971) Teknologi tabung vakum mulai tergantikan dengan transistor. Penggunaan transistor pada komputer mulai digunakan di akhir 1950-an. Keunggulan transistor adalah bentuknya yang lebih kecil. Dengan bentuk minimalis dari transistor, komputer menjadi lebih kecil dan hemat energi.
Read more

APA ITU DETERMINAN

Image
Determinan Pengertian Determinan Matriks Pertama kita pahami dulu apa itu determinan, kurang lebih pengertiannya adalah sebagai berikut: Determinan Matriks adalah sebuah angka atau skalar yang diperoleh dari elemen-elemen matriks tersebut dengan operasi tertentu. Determinan Matriks hanya dimiliki oleh matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama atau disebut dengan matriks persegi. Penulisan atau Notasi Determinan Determinan dari suatu matriks bisa dituliskan dengan menambahkan 2 buah garis lurus yang mengapit matriks tersebut atau berupa tulisan. Untuk lebih jelasnya bisa lihat dibawah ini. ⇒ Misalnya diketahui adalah matriks A seperti gambar dibawah Maka penulisan dari Determinan Matriks A seperti gambar berikut Konsep Determinan Matriks Setelah memahami 2 hal diatas tadi, selanjutnya kita lanjut ke konsep determinan matriks itu sendiri. Untuk tingkat SMA sendiri, yang akan dipelajari yaitu matriks ordo 2×2 dan ordo 3×3. Nah untk itu kita akan membah
Read more

Detrminan dengan metode elementer

Definisi Hasil Perkalian Elementer A matriks persegi n × n dan kita tuliskan sebagai berikut: A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 ⋮ a n 1 a 12 a 22 ⋮ a n 2 … … ⋱ … a 1 n a 2 n ⋮ a n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Maka hasil perkalian elementer dari matriks A adalah hasil perkalian elemen-elemen pada A yang letaknya sebaris atau sekolom. Semisal A = [ a i j ] 3 × 3 maka salah satu hasil perkalian elementernya yaitu a 12 a 23 a 32 . Lalu bagaimana cara mencari semua hasil perkalian elementer? Untuk lebih jelasnya simak contoh berikut : Contoh 4 Didefinisikan matriks persegi A dengan ordo 3 × 3 sebagai berikut : A = ⎡ ⎣ ⎢ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ⎤ ⎦ ⎥ Tentukan semua hasil perkalian elementernya. Penyelesaian : Karena matriks A mempunyai ordo 3 × 3 maka kita tuliskan bentuk acuan perkalian elementernya sebagai perkalian 3 elemen pada matriks A yakni a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 . Kemudian kita ganti tanda p 1 , p 2 dan p 3 dengan seluruh permutasi dari ( 1 , 2
Read more