APA ITU DETERMINAN

Determinan

Pengertian Determinan Matriks

Pertama kita pahami dulu apa itu determinan, kurang lebih pengertiannya adalah sebagai berikut:

Determinan Matriks adalah sebuah angka atau skalar yang diperoleh dari elemen-elemen matriks tersebut dengan operasi tertentu. Determinan Matriks hanya dimiliki oleh matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama atau disebut dengan matriks persegi.

Penulisan atau Notasi Determinan

Determinan dari suatu matriks bisa dituliskan dengan menambahkan 2 buah garis lurus yang mengapit matriks tersebut atau berupa tulisan. Untuk lebih jelasnya bisa lihat dibawah ini.
⇒ Misalnya diketahui adalah matriks A seperti gambar dibawah

Maka penulisan dari Determinan Matriks A seperti gambar berikut

Konsep Determinan Matriks

Setelah memahami 2 hal diatas tadi, selanjutnya kita lanjut ke konsep determinan matriks itu sendiri. Untuk tingkat SMA sendiri, yang akan dipelajari yaitu matriks ordo 2×2 dan ordo 3×3. Nah untk itu kita akan membahasnya satu persatu.

⇒ Matriks Ordo 2×2

Nah untuk matriks ordo 2×2 ini masih sederhana, kita cukup memahami yang namanya diagonal utama dan diagonal samping untuk menyelesaikan soal determinan matriks 2×2 ini. Bagi kalian yang belum paham, silahkan kalian baca dulu mengenai pengertian dan jenis" matriks

Misalnya diketahui suatu matriks A memiliki elemen-elemen seperti dibawah ini, maka Determinan Matriks A adalah sebagai berikut:

Keterangan : Kotak merah = diagonal utama, kotak kuning = diagonal samping.

⇒ Matriks Ordo 3×3

Untuk determinan dari matriks ordo 3×3 ini sedikit rumit, namun konsepnya masih sama seperti ordo 2×2 tadi yaitu dengan cara mengurangkan diagonal utama dengan diagonal samping.

Seperti yang sudah ada diatas, kita harus menambahkan 3 baris dan 2 kolom disebelah kanan dari matriks A tersebut sehingga nantinya akan ketemu hasilnya. Untuk rumusnya sudah tertera pada gambar diatas.

⇒ Menyelesaikan SPLDV dengan Determinan

Nah yang akan kita bahas selanjutnya yaitu cara menyelesaikan sebuah persamaan linear dua variabel menggunakan konsep determinan.

Yang perlu dipahami adalah Determinan Utama, Determinan Variabel x dan Determinan Variabel y.

1. Determinan Utama (D) adalah determinan yang koefisiennya x dan y. Koefisien x masing-masing terletak pada kolom pertama, sedangkan koefisien y terletak masing-masing di kolom kedua.
2. Determinan Variabel x (Dx) adalah determinan yang diperoleh dengan cara mengganti koefisien-koefisien variabel x dari determinan utama dengan bilangan-bilangan ruas kanan.
3. Determinan Variabel y (Dy) adalah determinan yang diperoleh dengan cara mengganti koefisien-koefisien variabel y dari determinan utama dengan bilangan-bilangan ruas kanan

Kita langsung ke contoh soalnya saja ya. Simak berikut ini:

Tentukan penyelesaian SPLDV berikut menggunakan metode determinan.

Pembahasan:

Untuk menyelesaikannya kita cari dulu nilai D, Dx dan Dy.

Nah itu materi kita kali ini yang berjudul Determinan Matriks, semoga kalian semua paham. 

Loncat ke navigasiLoncat ke pencarianApabila matriksnya berbentuk 2 × 2, rumus untuk mencari determinan adalah:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}}$

Apabila matriksnya berbentuk 3 × 3 matrix A, rumusnya adalah:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}$

Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks n × n adalah:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}\right).}$

Metode Eliminasi Gauss juga dapat dipakai. Sebagai contoh, determinan matriks berikut:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}$

dapat dihitung dengan menggunakan matriks berikut:

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\2&0&-1\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\0&2&-4\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&2&-4\\0&0&4.5\end{bmatrix}}.}$

Di sini, B diperoleh dari A dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris kedua, sehingga det(A) = det(B). C diperoleh dari B dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga det(C) = det(B). Sementara itu, D didapat dari C dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga det(D) = −det(C). Determinan matriks segitiga D merupakan hasil dari perkalian diagonal utamanya: (−2) · 2 · 4.5 = −18. Maka dari itu, det(A) = −det(D) = +18.