Detrminan dengan metode elementer

October 15, 2019

Definisi Hasil Perkalian Elementer

A matriks persegi

n \times n

dan kita tuliskan sebagai berikut:

A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 ⋮ a n 1 a 12 a 22 ⋮ a n 2 \dots \dots ⋱ \dots a 1 n a 2 n ⋮ a n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Maka hasil perkalian elementer dari matriks A adalah hasil perkalian elemen-elemen pada A yang letaknya sebaris atau sekolom. Semisal

A = [a_{i j}]_{3 \times 3}

maka salah satu hasil perkalian elementernya yaitu

a_{12} a_{23} a_{32}

Lalu bagaimana cara mencari semua hasil perkalian elementer?

Untuk lebih jelasnya simak contoh berikut :

Contoh 4

Didefinisikan matriks persegi

A

dengan ordo

3 \times 3

sebagai berikut :

A = ⎡ ⎣ ⎢ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ⎤ ⎦ ⎥

Tentukan semua hasil perkalian elementernya.

Penyelesaian :

Karena matriks A mempunyai ordo

3 \times 3

maka kita tuliskan bentuk acuan perkalian elementernya sebagai perkalian

3

elemen pada matriks A yakni

a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} a_{3 p_{3}}

. Kemudian kita ganti tanda

p_{1}, p_{2}

dan

p_{3}

dengan seluruh permutasi dari

(1, 2, 3)

. Kenapa 1, 2 dan 3? karena kotak

p_{1}, p_{2}

dan

p_{3}

mewakili urutan kolom dan banyaknya kolom pada matriks A ada

3

, yaitu kolom ke-

1, 2

dan

3

. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel di bawah ini :

Permutasi

(1, 2, 3)

Ubah

a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} a_{3 p_{3}}

(1, 2, 3)

a_{11} a_{22} a_{33}

(1, 3, 2)

a_{11} a_{23} a_{32}

(2, 1, 3)

a_{12} a_{21} a_{33}

(2, 3, 1)

a_{12} a_{23} a_{31}

(3, 1, 2)

a_{13} a_{21} a_{32}

(3, 2, 1)

a_{13} a_{22} a_{31}

Catatan

Apabila matriks

A

berordo

n \times n

, maka seluruh hasil perkalian elementer dalam matriks ada sebanyak

n!

. Karena banyaknya hasil kali elementer sama dengan banyaknya permutasi dari

(p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n})

yaitu dengan menggunakan metode filling slot didapat banyaknya permutasi =

n (n - 1) \dots (2) (1) = n!

Hasil Perkalian Elementer Bertanda untuk Mencari Determinan

Sedikit berbeda dari sebelumnya, hasil perkalian elementer bertanda dari matriks

A

persegi yang berordo

n \times n

adalah hasil perkalian elementer

a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}}

yang dikalikan dengan

+ 1

jika permutasinya genap dan dikalikan dengan

- 1

jika permutasinya ganjil.

Contoh 5

Berdasarkan contoh

4

tentukan semua hasil perkalian elementer bertandanya.

Penyelesaian :

Untuk mempermudah mencari hasil perkalian elementer bertanda, kita kembangkan tabel pada contoh

4

sehingga :

Permutasi	Inversi	Hasil Perkalian Elementer Bertanda
$(1, 2, 3)$

+ a_{11} a_{22} a_{33}

(1, 3, 2)

- a_{11} a_{23} a_{32}

(2, 1, 3)

- a_{12} a_{21} a_{33}

(2, 3, 1)

+ a_{12} a_{23} a_{31}

(3, 1, 2)

+ a_{13} a_{21} a_{32}

(3, 2, 1)

- a_{13} a_{22} a_{31}

Lalu apa hubungannya dengan fungsi determinan?

Jadi jika

A

adalah matriks persegi yang berordo

n \times n

maka Determinan/Fungsi Determinan didefinisikan sebagai jumlahan semua hasil perkalian elementer bertanda dari matriks

A

. Atau bisa ditulis :

det (A) = \sum \pm a 1 p 1 a 2 p 2 \dots a n p n

Contoh 6

Diberikan matriks

A

sebagai berikut :

A = ⎡ ⎣ ⎢ - 1 02 12 - 2 01 - 1 ⎤ ⎦ ⎥

Tentukan determinan dari matriks

A

tersebut.

Penyelesaian :

Berhubung pada contoh 5, matriks A berordo

3 \times 3

sudah dicari semua hasil perkalian elementer bertandanya maka kita peroleh :

det (A) = \sum \pm a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3

det (A) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 - a 13 a 22 a 31

det (A) = (- 1) (2) (- 1) + (1) (1) (2) + (0) (0) (- 2) - (- 1) (1) (- 2) - (1) (0) (- 1) - (0) (2) (2)

det (A) = 2 + 2 + 0 - 2 - 0 - 0 = 2

Sebenarnya terdapat metode yang lebih praktis dalam mencari determinan matriks

A

, yaitu dengan Metode Sarrus.

Search This Blog

Tuntutlah ilmu di STTPLN